EL SISTEMA DIÉDRICO

Bienvenidos al casi interminable mundo del sistema diédrico. En mi caso, llevo casi la friolera de 15 años estudiando y dando clase sobre este sistema de representación. En mi opinión es unos de los más interesantes desde el punto de vista técnico, ya que se ha de tener una visión espacial muy buena para entender y tener claro los conceptos que dentro de este sistema se estudian. 

Las bases del sistema diédrico son muy sencillas, pero sin embargo la representación del mismo es muy engorrosa y en algunos casos complicada y fea. Dicho sistema se basa en dos proyecciones ortogonales sobre dos planos, normalmente denominados el vertical y el horizontal de proyección. Dichos planos de proyección suelen tomarse perpendiculares entre si, aunque también es cierto que no es terminantemente obligatorio que dichos planos sean ortogonales uno al otro. En el caso que estos planos sean perpendiculares, las direcciones de proyección, al estar generadas por proyecciones ortogonales sobre dichos planos, también serán perpendiculares entre si. Los planos de proyección, al ser no paralelos entre si, se cortarán a lo largo de una recta, que tiene un nombre singular, la "linea de tierra", debido a que si tomamos el plano horizontal de proyección como el de referencia de alturas, es decir, como el suelo o tierra, dicha linea será la que nos indique las alturas que tendrán los objetos además de otra información de interés como los diferentes cuadrantes en los que nos quedará distribuido el espacio, que seguidamente estudiaremos de forma más extensa. 

 Para pasar de las tres dimensiones a las dos de nuestro folio, lo que se realiza en este sistema, es un abatimiento del plano vertical de proyección sobre el plano horizontal, de la forma que se indica en la siguiente imagen, quedando así las proyecciones en un solo plano que se podrá representar de forma más o menos complicada.

Imagen 1: Generación del sistema diédrico para su trabajo en 2D

 Como ya hemos dicho, la linea de tierra, es la recta de unión de los planos de proyección, y a partir de ahí vamos a empezar nuestras representaciones de los elementos más representativos dentro del dibujo técnico: el punto, la recta y el plano.

-El punto-

El punto, es el elemento básico del dibujo técnico, ya que es el elemento generador de todas las formas que se puedan llegar a dibujar. En el sistema diédrico, al estar este generado por dos proyecciones, dicho punto, tendrá dos proyecciones asociadas, una proyección horizontal y otra vertical, de forma que estas proyecciones nos darán las distancias de dicho punto respecto al plano horizontal y al vertical (cota y alejamiento respectivamente).

Imagen 2: Representación del punto en sistema diédrico

En la imagen superior, puede verse, que la distancia P1-P es la cota (altura) del punto P, y que coincide con la distancia que hay de P2 a la linea de tierra por ortogonalidad, mientras que por su lado, la distancia existente entre P2-P es el alejamiento de P, y que coincide con la distancia existente entre P1 y la linea de tierra por la misma razón.
A este respecto, cabe reseñar, que tanto la cota como el alejamiento, pueden ser tanto positivas como negativas. Para las cotas, se tomaran como positivas a partir de la linea de tierra en dirección ascendente, mientras que para los alejamientos se tomaran como positivos de la linea de tierra en dirección descendente. Definido así nuestro convenio de signos, podremos saber la posición de un punto, respecto al cuadrante en el que se encuentra, sabiendo únicamente la posición de sus proyecciones. Para interiorizar dicho concepto vamos a trabajar sobre la siguiente imagen:

Imagen 3: Posición relativa de puntos en diédrico

Si nos fijamos en la posición de los diversos puntos en tres dimensiones, luego nos fijamos en sus homólogos en el dibujo de la derecha, veremos que en el primer cuadrante, tanto la cota como el alejamiento son positivos siendo esto así por convenio. Si pasamos al segundo cuadrante, podremos ver que la cota (altura), sigue siendo positiva, mientras que el alejamiento ha pasado a ser negativo, ya que ha atravesado el plano vertical y esta "detrás" de él. Esta realidad se traduce en que si nos fijamos en la proyección B1 del punto B, observaremos que ahora no se encuentra por debajo de la linea de tierra, ya que el alejamiento ha tomado un valor negativo. Esto mismo sucede con el punto D, pero en vez de con el alejamiento lo que es negativo es la cota, ya que ha atravesado el plano horizontal. Por último, en el caso del punto C, vemos que sus proyecciones han permutado sus posiciones, y esto es así, porque tanto la cota como el alejamiento son negativos, ya que se han atravesado tanto el plano horizontal (PH) como el plano vertical (PV).

También existen dos casos especiales que son de mucho interés y estos son los siguientes:

• ¿Qué sucede si un punto no tiene cota o alejamiento?

En este caso, podríamos coger el punto A por ejemplo (se podría coger cualquiera de los demás) y trasladarlo paralelamente a uno de los planos coordenados (planos de proyección), hasta que la cota o el alejamiento se hagan nulos. Si lo hemos hecho bien, y eso esperamos todos, veremos que en el caso en el que tenemos cota, pero el alejamiento se nos anula, estaremos hablando de un punto que se encuentra dentro del plano vertical de proyección, mientras que para cotas nulas y alejamientos no nulos, estaremos dentro del plano horizontal de proyección. Por lo tanto, todo punto perteneciente al plano horizontal, no posee cota, no teniendo alejamiento aquellos que se encuentren en el plano vertical.

• ¿Qué pasa si un punto está en la propia linea de tierra?

Como ya se ha dicho, la linea de tierra, es el lugar geométrico de unión de los dos planos de proyección, y como tal, los puntos pertenecientes a ella, deben de cumplir las características que les impone el pertenecer a ambos. Por lo tanto, si el pertenecer al plano vertical nos obliga a que el punto no tenga alejamiento y el pertenecer al plano horizontal, lo mismo pero con la cota, dicho punto, tendrá sus dos proyecciones coincidentes en un punto de la linea de tierra. Esto, además nos hace ver otra característica muy especial del sistema diédrico, y es que todo elemento posee dos proyecciones, pero estas proyecciones pueden ser coincidentes, es decir, que se superpongan una con otra, como sucede en los puntos pertenecientes a los bisectores de los cuadrantes que veremos más adelante.

Imagen 4: Puntos singulares en el sistema diédrico

- La recta-

Si pensamos en lo que es gráficamente una recta, podremos darnos cuenta que esta no es más que un conjunto infinito de puntos alineados. Como tales, definen una dirección. Sin embargo, como hemos visto ya, en el sistema diédrico se duplica casi todo, y en el caso de la recta no va a haber una excepción. Efectivamente, la recta va a tener dos proyecciones, una sobre el plano horizontal que denominaremos por el índice 1, y otra sobre el plano vertical que denotaremos con el subíndice 2.
Por otro lado, si nos imaginamos una recta, cualquiera, en el espacio, en general, cortará a los planos de proyección en dos puntos. Muy bien, pues estos puntos son de una importancia crucial, ya que vamos a estar utilizándolos en casi todos los ejercicios que nos planteen, y poseen un nombre muy característico por ello, estos puntos se denominan trazas de la recta.

Imagen 5: La recta y sus trazas en diédrico

Como se puede ver en la imagen superior, la recta 'r', corta a los planos vertical y horizontal en sendos puntos 'V' y 'H'. Estos puntos son la trazas de la recta 'r', y cada una tiene sus proyecciones tanto vertical como horizontal, como se observa en la parte derecha de la imagen. Como se ve, en el sistema diédrico, en ninguna parte aparece el punto tal y como es, sino sus proyecciones, por lo que habrá que hacer un ejercicio de imaginación, para recrear la realidad en nuestra mente y hacernos una idea de cómo es en la realidad la recta.
Como es podréis imaginar, tipos de rectas, hay infinitas, pero hay una serie de ellas que se debieran de saber su forma y su nombre, por lo útiles que nos serán en los ejercicios que hagamos de aquí en adelante.

1. Comencemos por un par de rectas muy sencillas, una que sea perpendicular al plano horizontal, y otra que lo sea al vertical, rectas 'd' y 'e' respectivamente de la figura que se encuentra a continuación.      La primera, se denomina como era de esperar, recta vertical, mientras que la segunda se denomina recta de punta. La recta vertical, al ser ortogonal al plano horizontal, tendrá una proyección sobre dicho plano, tal que todos los puntos se confundirán en uno, mientras que en la proyección vertical, la recta aparece tal y como es en realidad, es decir, que dos puntos que estén alineados verticalmente a una cierta distancia, en la proyección vertical se verán de tal forma que dicha distancia se conserva. Lo mismo podríamos decir de la recta de punta, pero en este caso, las distancias se nos conservarán en el plano horizontal, siendo la proyección vertical un punto, de ahí la denominación de esta recta. Como solo hay un punto de corte con los planos de proyección en ambas rectar, cada una de ellas, solo poseerá una de las trazas, estando la otra en el infinito.
2. Otro tipo de recta también muy fácil de distinguir e imaginar, son las paralelas a la linea de tierra, correspondiente a la recta 'a' de la imagen inferior, las cuales, por dicha cualidad, tendrán ambas proyecciones también paralelas a la linea de tierra. Por este hecho, no poseerán trazas, y a pesar de ser muy intuitivas y fáciles de distinguir, a la hora de trabajar con ellas nos darán algunos problemas de visualización que ya trataremos más adelante. 
3. Pasemos ahora al que bajo mi punto de vista son las rectas más útiles de todas. Dichas rectas son las denominadas horizontales y frontales, rectas 'b' y 'c' de la figura inferior. Empecemos hablando de las rectas horizontales. Estas rectas, como todo lo que lleva apelativo horizontal, es paralelo al plano horizontal, por lo cual, la proyección vertical, será paralela a la linea de tierra, mientras que la otra podrá llevar la dirección que sea, salvo la que forma 90º con la linea de tierra, ya que es imposible ese caso. Si estáis pensando en poner la proyección horizontal paralela a la linea de tierra, os diré que además de tener una recta horizontal, dicha recta también es paralela a la linea de tierra. Como era de esperar, por contraposición, las rectas frontales son las que poseen la proyección horizontal paralela a la linea de tierra, y se denominan frontales por estar frente al plano vertical. La proyección vertical de la recta frontal, podrá llevar la dirección que queramos, salvo perpendicular a la linea de tierra por la razón anteriormente dada. Este tipo de rectas solo poseen también una de las trazas.
4. Fijémonos ahora en rectas que corten con la linea de tierra. Este tipo de rectas se pueden dividir en dos, las que además son perpendiculares a la linea de tierra, y las que forman un ángulo inferior a agudo con la misma, rectas 'g' y 'h' de la imagen que esta a continuación. En el caso que formen un ángulo agudo, las trazas, se cortarán en la propia linea de tierra, y cada una llevará la dirección que le toque, no teniendo restricción siempre que sea compatibles las trazas una con otra. Por su lado, las rectas que además de cortar a la linea de tierra son perpendiculares a esta, tienen la cualidad que ambas proyecciones se confunden en una que es perpendicular a la linea de tierra. Esta cualidad es común para cualquier recta que corte perpendicularmente a la linea de tierra en un punto, por lo cual nos obliga a dar más información sobre la misma para distinguirla del resto. Esto se consigue dando más información sobre la misma, y esta información es un punto por el que pase. Si nos fijamos en la recta 'h' de la figura inferior, vemos que además de las proyecciones, nos dan un punto 'M' por el que pasa la recta, variando la recta, si ese punto 'M' varía su posición. En estas rectas, las trazas se confunden una con otra en la propia linea de tierra.
5. Si la recta es perpendicular a la linea de tierra pero no la corta, el caso es igual, pero las trazas no se confundirán, estarán bien diferenciadas. (véase recta 'i' a continuación)
6. Si las rectas no cumplen ninguna de las peculiaridades  que se han expuesto anteriormente, estaremos ante una recta genérica, como lo es la recta 'f' de la figura inferior. Estas rectas tienen sus trazas bien diferenciadas, aunque no siempre nos entrarán en el papel de trabajo.

Imagen 6 y 7: Tipos de rectas en diédrico

Por último, como ya se ha dicho, las rectas en general, pasan por varios cuadrantes en su trayectoria. Por ello, debemos de saber en cada tramo del mismo en que parte del espacio nos encontramos. Para el análisis de este tipo de ejercicios vamos a trabajar el siguiente ejercicio:

Imagen 8: Posición de las rectas en el espacio

En este caso, el ejercicio ya esta resuelto, pero vamos a contrastar los resultados. Como ya se ha dicho anteriormente, las trazas, son puntos especiales de las rectas, en los cuales estas cortan a los planos de proyección, y por ello, pasan de un cuadrante a otro. Por ello, cuando en una recta nos encontremos con una traza, nuestra mente tiene que pensar en un cambio de cuadrante. Como vemos, en el ejercicio, en las trazas de la recta, el autor ha dividido el espacio, dándole así tres tramos de la recta en los que esta esta en diferentes cuadrantes. En el de más a la izquierda, estamos en un tramo en el que los alejamientos son positivos ('a1' esta por la parte inferior de la linea de tierra), mientras que las cotas son negativas (por estar 'a2' por debajo de la linea de tierra). Estos puntos que poseían cota negativa y alejamiento positivo, como ya hemos visto en el tema de los puntos en diédrico, eran los que estaban en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, en ese tramo, la recta se encuentra en el cuarto cuadrante. Si nos fijamos en la parte derecha de la imagen, estamos con cotas positivas ('a2' por encima de la LT) y alejamientos negativos ('a1' por encima de la LT). Esto correspondía a puntos pertenecientes al segundo cuadrante, como bien viene escrito en la solución. Entre medias, tanto la cota como el alejamiento son positivos, lo cual correspondía por convenio al primer cuadrante, quedando así el ejercicio completamente resuelto.

Introducción

Geometría proyectiva

Introducción

Desde que el hombre de las cavernas empezará en la prehistoria a hacer dibujos en las paredes de roca con sangre de los animales que había cazado, tratando así de hacer una representación lo más fiel posible a la realidad, el hombre, ha tratado de representar los objetos, las personas, o los pensamientos que tiene a su alrededor y dentro de si mismo, a través de diversas herramientas artísticas que han ido evolucionando y perfeccionándose con el tiempo. Una de estas herramientas para dicha representación de la realidad, es la proyección de la misma bajo unas características particulares. A este respecto, el ser humano ha desarrollado multitud de sistemas gráficos, que lo que tratan es de hacer esta representación de la realidad. En la mayoría de los casos se trata de objetos, herramientas o utensilios que tienen unas características geométricas únicas, las cuales deben de quedar bien representadas en el papel para que el mensaje este bien transmitido.
Dichos sistemas gráficos, o sistemas proyectivos, se utilizan mundialmente, y son un sistema muy efectivo de transmisión de información en algunos oficios como en la construcción. Dentro de estos sistemas, nos encontramos con algunos que son más comunes que otros, y por ello, en nuestro caso vamos a trabajar los más comunes, destacando sus características más principales, y haciendo hincapié en las ventajas e inconvenientes que poseen cada uno de ellos.
En este blog se van a tratar los siguientes sistemas en forma ordenada:

1. El sistema diédrico
2. La perspectiva axonométrica
3. La perspectiva caballera
4. El sistema de acotados
5. La perspectiva cónica

Todos y cada uno de estos sistemas y perspectivas, poseen características particulares que los diferencian del resto, y son por ello más utilizados en algunos trabajos que en otros. Sin embargo, todos y cada uno de estos sistemas, tienen también algunas características comunes que se han de tener en cuenta a la hora de definir nuestro sistema proyectivo. Estas características son:

• Todo sistema de proyección posee unas dimensiones de partida (normalmente 3 en la realidad) y otras en su proyección (en nuestro caso 2, ya que vamos a proyectar sobre un plano)
• Todo sistema, posee al menos una dirección de proyección, pudiendo ser estas direcciones paralelas unas a otras, perpendiculares, oblicuas o incluso focales. Dichas direcciones de proyección, como ya veremos en cada caso, son las "trayectorias" que siguen los puntos de la realidad para transformase en sus proyectados.
• Todo sistema, posee al menos un plano de proyección, que  puede ser ortogonal o no. Dicho plano o planos de proyección, son los planos que poseerán a los puntos proyectados sobre ellos.
• En algunos casos también hablaremos de "punto de vista", lo cual se refiere al agente que esta observando la figura, es decir, desde donde se mira la pieza. Como se verá, en algunos sistemas este punto de vista esta muy bien definido, siendo una característica intrínseca a él, mientras que en algunos casos solo podremos hablar de lugares aproximados donde se encuentre el vidente.
• Por último, también podríamos hablar, aunque en el estricto concepto no es muy correcto, de sistema de referencia. El sistema de referencia nos sirve para ubicar nuestra figura en el espacio, y es una característica completamente externa al cuerpo, es decir, que el creador del sistema decide donde poner este sistema de referencia y debido a este, las proyecciones del mismo van a ser unas u otras. Sin embargo, si que es cierto que este sistema de referencia si que es importante para algunas proyecciones como la cónica, y que en otras es un mero trámite que nos facilitará el trabajo con la figura.

Estas características, darán a algunos sistemas una complejidad mayor que otras, pero sin embargo, también se conseguirá así una mayor exactitud en la proyección y en el resultado de la misma. Sin más dilación vamos a empezar con el primer sistema de representación, el sistema diédrico, que es uno de los más utilizados y estudiados tanto en la escuela como en la universidad debido a la enorme aplicación del mismo a la vida real.