¿Cómo se crean los planos en sistema diédrico?

Como ya se dijo en su tema, las rectas, son un conjunto ilimitado de puntos alineados entre si, y a partir de ahí vimos como se representaban las rectas y los tipos más representativos. Sin embargo, para el  caso de los planos, la definición de los mismos no es tan sencilla. Para la definición de un plano, se necesitan varios elementos, que se reducen a tres casos que básicamente se podrían reducir a uno.
Estos tres posibles casos son los siguientes:

1. Para la definición de un plano, es condición suficiente que se nos den tres puntos contenidos en este. Fijémonos, en que tres puntos siempre generaran un plano, mientras que dos, solo me definirían una dirección, y cuatro, podrían no estar contenidos en un mismo plano. 
2. Otro caso, que se basa en el anterior, es cuando nos definen un plano con una recta y un punto fuera de ella. En este caso, también tenemos completamente definido el plano, ya que esos dos elementos solo pueden generar un único plano.
3. Por último, tenemos otro caso, el de dos rectas que se cortan. Este caso, también se basa en el primero como veremos un poco más adelante. La condición de que ambas rectas se corten, es necesaria, ya que en el caso de no cortarse, no se definiría un plano bajo ningún concepto.

-Caso de tres puntos-

Veamos el caso más general, el plano que es definido por tres puntos, y para ello vamos a basarnos en el siguiente ejercicio:

Hallar el plano que contienen a estos tres puntos

Lo primero que debemos de tener claro en este ejercicio, es que al estar contenidos esos tres puntos en el plano que definen, las rectas que se pueden formar con estos tres puntos, también van a estar contenidos en dicho plano. Por lo tanto, lo primero que haremos será el generar esas rectas (con dos será suficiente).
En ellas, hallaremos las trazas, es decir, los puntos de corte con los planos de proyección. si lo hacemos correctamente, el ejercicio quedaría así:

Una vez llegados a este punto, debemos de recordar la definición de traza de un plano. Dicha definición nos decía: "Las trazas de un plano, son los cortes del mismo con los planos coordenados". Por lo tanto, y dado que las trazas de una recta son los cortes de la misma con los planos coordenados, podemos llegar a la conclusión de que las trazas de las rectas contenidas en un plano, están sobre las trazas de dicho plano. De hecho, las trazas horizontales de las rectas estarán sobre la traza horizontal del plano, mientras que las verticales, sobre la traza vertical del plano. Por lo tanto, si unimos las trazas horizontales entre si, y las verticales entre si, tendremos dos rectas que serán las trazas del plano que las contiene. Vamos a ver si es cierto:

Solución del ejercicio.

En este caso, sale un plano un poco complicado de ver, muy parecido a uno perpendicular al segundo bisector, pero la realidad es que ambas trazas se cortan en la linea de tierra y pasan por las trazas respectivas.
Para que practiquéis esto en vuestras casas, os dejo formulado otro ejercicio de definición de plano con tres puntos:

Ejercicio voluntario

-Material adicional-

Para una mejor comprensión del temario dado hasta ahora, os dejo adjuntos aquí unos vídeos que resumen de una forma gráfica y más interactiva los temas de punto, rectas y planos que hemos visto.

Espero que os sean de ayuda:

El punto: representación

La recta: representación y elementos clave

Tipos de recta en diédrico

Tipos de plano, nomenclatura y representación

Trabajo con el plano de perfil: tercera proyección

-El Plano-

El plano, al igual que la recta, es un elemento esencial con el que se va a estar trabajando en diédrico para realizar casi todo. Sin embargo, el plano tiene algunas cosas interesantes que vamos a resaltar en este apartado, y que son diferentes de lo que hemos estado viendo hasta el momento.

En primer lugar, la forma de describir un plano en diédrico ya es diferente de como se representaba el punto o la recta. Para el plano, no se utilizan las proyecciones del plano sobre los planos proyectantes, sino que se utilizan las llamadas trazas del plano. Dichas trazas, no dejan de ser sino los cortes del plano que tengamos con los planos proyectantes. Dichas trazas, tienen nombre, y se suelen denominar como traza horizontal del plano y la traza vertical. Además, dichas trazas tienen una característica muy importante a la vez que sencilla de entender gráficamente, y esta es que ambas trazas se deben de cortar, y dicho punto de corte debe de encontrarse sobre la linea de tierra. Mediante la siguiente imagen este concepto nos va a quedar más claro.

Imagen 1a: El plano y sus trazas

En esta imagen se puede ver un plano en tres dimensiones que esta seccionando a los planos horizontal y vertical de proyección. Como se observa, dicha sección se realiza a lo largo de dos rectas, que se cortan la una a la otra en un punto de la linea de tierra. Este dibujo, en nuestro papel quedaría de la siguiente forma:

Imagen 1b: El plano en diédrico

La razón por la que se utilizan las trazas del plano en vez de sus proyecciones es bastante sencilla. Si nos imaginamos un plano en el espacio, que corte a los dos plano de proyección, al hacer la proyección ortogonal de dicho plano sobre los de proyección, nos daría todos los puntos de los planos de proyección. Esto es así, porque la dimensión del plano imaginado es exactamente igual a la de los planos de proyección. Cuando nosotros hacemos una proyección, siempre debemos de tomar un subespacio inicial que va a ser proyectado (un punto, una recta, un palno, etc...), y un subespacio de proyección, que es sobre el que se van a proyectar los subespacios anteriores (recta, plano, etc...). Dicho subespacio de proyección, debe de tener al menos una dimensión superior que el subespacio a proyectar. De hecho, esto lo podriamo razonar mediante nuestra imaginación, ya que si nos ponemos a pensar en como proyectar una recta en un plano, podemos llegar a la conclusión de que existe dicha proyección y que es otra recta contenida en el plano de proyección. Sin embargo, si tratamos de realizar el caso opuesto, la proyección de un plano en una recta, tenemos un gran inconveniente, y este es que tenemos muchos puntos del plano que se nos proyectan en uno solo de la recta, y eso no puede ser, ya que cada punto del espacio proyectado debe de tener un solo punto en su proyección, y este debe de ser único para él.

Bueno, hecha esta explicación un tanto engorrosa y que tampoco nos influye mucho en el tema que estamos tratando, vamos a empezar a mostraros unos cuantos planos que nos van a ser de mucha ayuda para los diversos ejercicios que realizaremos con planos.

Primeramente, y al igual que hicimos con los tipos de las rectas, vamos a empezar por casos muy sencillos de imaginar y luego entraremos en otros más complicados en los que la visión espacial es más importante. Por ello, vamos a comenzar por planos paralelos a los planos de proyección, los denominados planos frontales y planos horizontales. Los planos frontales (plano zeta en imagen 2), son aquellos que son paralelos al plano vertical de proyección, y por ello, solo van a cortar al plano horizontal, con lo cual solo poseerán traza horizontal. De la misma forma, los planos horizontales (plano fi en imagen 2), son aquellos que son paralelos al plano horizontal de proyección, y por ello solo poseen traza vertical. La realidad es que estos plano no son muy utilizados, pero en algunos casos, serán los únicos que serán capaces que facilitarnos la resolución del ejercicio.

Ahora imaginemos un plano horizontal cualquiera, y vamos a girarlo un cierto angulo respecto de una recta perpendicular la plano vertical, es decir, una recta de punta. Una vez hecho el giro, el plano resultante se denomina plano proyectante vertical (plano gama en imagen 2). Dicho plano, posee una de sus traza perpendiculares a la linea de tierra, la horizontal, mientras que la otra tiene un ángulo respecto de la linea de tierra igual al ángulo girado inicialmente. De la misma manera, si giramos un plano frontal respecto de una recta vertical, el plano resultante se denomina plano proyectante horizontal _(plano beta en imagen 2), con su traza vertical perpendicular a la linea de tierra y la horizontal formando un ángulo "alfa" respecto a la linea de tierra. Estos planos son muy utilizados para casi todo en diédrico por la sencillez de su formación, y a que en cada uno de ellos, la traza no perpendicular a la linea de tierra, será la linea que contenga la proyección de cualquier elemento contenido en el plano, debido a que este plano proyectante, es perpendicular a uno de los planos proyectantes. De hecho, y para que os hagáis un croquis de la situación, el plano proyectante horizontal, es perpendicular al plano horizontal y por ello todo elemento contenido en el plano, tendrá su proyección horizontal dentro de esta traza horizontal. Esta realidad se repite en el proyectante vertical, pero esta vez con la traza vertical. Este concepto es de vital importancia, y por ello lo veremos con más detenimiento en diversos casos donde necesitaremos utilizar esta propiedad.

Otro plano peculiar, dentro de los diferentes tipos que existe, lo compone el denominado plano de perfil (plano delta en imagen 2). Este plano es perpendicular a ambos planos de proyección, y por ello las trazas se ven en perpendicular a la linea de tierra y en prolongación una sobre otra, viéndose así las dos trazas como una sola recta continua continua. La realidad, es que este plano no es muy utilizado, ya que todo lo que este contenido en el se va a ver confundido en una sola linea. Sin embargo, este plano es bastante importante, ya que en algunos casos, donde no veamos claramente algunos elementos por verse estos de perfil, usaremos estos planos como auxiliares, para crear una tercera proyección y verlo tal y como son. Este tipo de problemas, a pesar de no ser muy comunes en la realidad, si que son muy buscados en exámenes de diédrico, y por ello, más adelante haremos algunos ejercicios donde se necesitará dicha tercera proyección, explicando como y porqué se utiliza.

Olvidándonos ya de los planos perpendiculares a los planos de proyección, existen otros planos muy interesantes, como lo son los planos paralelos a la linea de tierra (plano eta en imagen 2). Este tipo de planos, poseen las trazas paralelas entre si y a la linea de tierra. En algunos casos, para trabajar con este tipo de planos necesitaremos también la ya mencionada tercera proyección. En el caso que este plano paralelo a la linea de tierra, se trasladase de tal forma que contuviese a la linea de tierra, ambas trazas se confundirían en la propia linea de tierra, necesitándose además para definir completamente el plano, un punto por el que pasa el mismo (plano lambda en imagen 2). Este tipo de planos, al igual que los planos de perfil, son poco comunes y problemáticos, ya que no se trabaja bien con ellos, sin embargo, los planos bisectores de los cuadrantes son algo más importantes. Estos planos, son aquellos que contienen a la linea de tierra, y a todos los puntos que tienen misma cota y alejamiento (primer bisector), y cota y alejamiento con signo opuesto (segundo bisector). Más adelante haremos un ejercicio en el que tendremos que utilizar este tipo de planos, para ver lo complicado que resulta el trabajo con ellos.

Imagen 2: Tipos de plano

Por último, podríamos hablar de otros planos, que a pesar de ser generales (plano alfa en imagen 2), poseen alguna característica que los hace especiales. Dentro de estos planos, vamos a mencionar dos, los perpendiculares al primer y segundo bisector. Para explicarlos, vamos a fijarnos en la siguiente imagen:

Imagen 3: planos perpendiculares a los bisectores

En la imagen 3, a la izquierda, tenemos un croquis en tres dimensiones de lo que tenemos. Tenemos los planos de proyección, PV y PH, el plano bisector B, un plano auxiliar de perfil P, y el plano perpendicular al bisector Q. Como podemos ver, el plano Q y plano bisector, se van a cortar en una recta 'r', que al estar contenida en el primer bisector, si es que suponemos que el plano B es el primer bisector, tendrán sus puntos igual cota y alejamiento, por lo que sus proyecciones formarán con la linea de tierra el mismo angulo, como se ve en la figura 41 de la imagen 3. En esta figura 41, además, vemos la sección, en tercera proyección, es decir, de lado, de los planos bisector B, perpendicular a bisector Q, y 'r'. En esta tercera proyección, lo que hacemos es, por así decirlo, abatir el plano auxiliar de perfil P sobre el plano vertical. Como se ve en la imagen, las secciones entre el plano de perfil y los planos proyectantes, son perpendiculares entre sí, y por lo tanto, al abatirlo, la recta P-P' sería el plano vertical de proyección mientras que la linea de tierra sería el horizontal de proyección. En esa tercera vista o proyección, la recta B'' es la proyección del plano bisector sobre el plano de perfil, y por lo tanto la corte de esta vista B'' con el plano perpendicular, deberá de formar 90º, como se ve que forman B'' y Q'' en A''. Debido a esta realidad, los diversos puntos que forman parte de las trazas del plano, poseen la característica de que tienen la misma cota y alejamiento, por lo que llegamos a la conclusión de que las trazas de un plano perpendicular al primer plano de proyección, deben de formar respecto de la linea de tierra el mismo ángulo, como se ve en la figura 41.
Para llegar a la forma de las trazas de un plano perpendicular al segundo bisector, el razonamiento es análogo, pero teniendo muy en cuenta que lo que en la imagen 3 aparece como PH, es la parte negativa del plano horizontal de proyección, es decir, nos encontramos en el segundo cuadrante. Por ello, el alejamiento de los puntos de la traza horizontal Q, serían negativos, estando en la figura 41bis por encima de la linea de tierra. Por esta realidad, las trazas Q y Q' se superponen, y llevan el mismo ángulo respecto de la linea de tierra, quedando este tipo de planos representados de la forma que muestra la figura 41bis.

Estos dos últimos tipos de planos son de difícil comprensión, por lo cual se recomienda el pensar en profundidad en la explicación y en las imágenes, entendiendo con claridad, todos los conceptos que en ellos se exponen. Si conseguimos entender estos dos planos totalmente, no tiene porque haber ningún problema con este primer tema de aproximación al sistema diédrico.

A partir de aquí, vamos a realizar algunos ejercicios de definición de planos, rectas y puntos, para afianzar así el temario dado hasta ahora. Mucho ánimo.