¿Cómo se crean los planos en sistema diédrico?

Como ya se dijo en su tema, las rectas, son un conjunto ilimitado de puntos alineados entre si, y a partir de ahí vimos como se representaban las rectas y los tipos más representativos. Sin embargo, para el  caso de los planos, la definición de los mismos no es tan sencilla. Para la definición de un plano, se necesitan varios elementos, que se reducen a tres casos que básicamente se podrían reducir a uno.
Estos tres posibles casos son los siguientes:

1. Para la definición de un plano, es condición suficiente que se nos den tres puntos contenidos en este. Fijémonos, en que tres puntos siempre generaran un plano, mientras que dos, solo me definirían una dirección, y cuatro, podrían no estar contenidos en un mismo plano. 
2. Otro caso, que se basa en el anterior, es cuando nos definen un plano con una recta y un punto fuera de ella. En este caso, también tenemos completamente definido el plano, ya que esos dos elementos solo pueden generar un único plano.
3. Por último, tenemos otro caso, el de dos rectas que se cortan. Este caso, también se basa en el primero como veremos un poco más adelante. La condición de que ambas rectas se corten, es necesaria, ya que en el caso de no cortarse, no se definiría un plano bajo ningún concepto.

-Caso de tres puntos-

Veamos el caso más general, el plano que es definido por tres puntos, y para ello vamos a basarnos en el siguiente ejercicio:

Hallar el plano que contienen a estos tres puntos

Lo primero que debemos de tener claro en este ejercicio, es que al estar contenidos esos tres puntos en el plano que definen, las rectas que se pueden formar con estos tres puntos, también van a estar contenidos en dicho plano. Por lo tanto, lo primero que haremos será el generar esas rectas (con dos será suficiente).
En ellas, hallaremos las trazas, es decir, los puntos de corte con los planos de proyección. si lo hacemos correctamente, el ejercicio quedaría así:

Una vez llegados a este punto, debemos de recordar la definición de traza de un plano. Dicha definición nos decía: "Las trazas de un plano, son los cortes del mismo con los planos coordenados". Por lo tanto, y dado que las trazas de una recta son los cortes de la misma con los planos coordenados, podemos llegar a la conclusión de que las trazas de las rectas contenidas en un plano, están sobre las trazas de dicho plano. De hecho, las trazas horizontales de las rectas estarán sobre la traza horizontal del plano, mientras que las verticales, sobre la traza vertical del plano. Por lo tanto, si unimos las trazas horizontales entre si, y las verticales entre si, tendremos dos rectas que serán las trazas del plano que las contiene. Vamos a ver si es cierto:

Solución del ejercicio.

En este caso, sale un plano un poco complicado de ver, muy parecido a uno perpendicular al segundo bisector, pero la realidad es que ambas trazas se cortan en la linea de tierra y pasan por las trazas respectivas.
Para que practiquéis esto en vuestras casas, os dejo formulado otro ejercicio de definición de plano con tres puntos:

Ejercicio voluntario

-Material adicional-

Para una mejor comprensión del temario dado hasta ahora, os dejo adjuntos aquí unos vídeos que resumen de una forma gráfica y más interactiva los temas de punto, rectas y planos que hemos visto.

Espero que os sean de ayuda:

El punto: representación

La recta: representación y elementos clave

Tipos de recta en diédrico

Tipos de plano, nomenclatura y representación

Trabajo con el plano de perfil: tercera proyección

-El Plano-

El plano, al igual que la recta, es un elemento esencial con el que se va a estar trabajando en diédrico para realizar casi todo. Sin embargo, el plano tiene algunas cosas interesantes que vamos a resaltar en este apartado, y que son diferentes de lo que hemos estado viendo hasta el momento.

En primer lugar, la forma de describir un plano en diédrico ya es diferente de como se representaba el punto o la recta. Para el plano, no se utilizan las proyecciones del plano sobre los planos proyectantes, sino que se utilizan las llamadas trazas del plano. Dichas trazas, no dejan de ser sino los cortes del plano que tengamos con los planos proyectantes. Dichas trazas, tienen nombre, y se suelen denominar como traza horizontal del plano y la traza vertical. Además, dichas trazas tienen una característica muy importante a la vez que sencilla de entender gráficamente, y esta es que ambas trazas se deben de cortar, y dicho punto de corte debe de encontrarse sobre la linea de tierra. Mediante la siguiente imagen este concepto nos va a quedar más claro.

Imagen 1a: El plano y sus trazas

En esta imagen se puede ver un plano en tres dimensiones que esta seccionando a los planos horizontal y vertical de proyección. Como se observa, dicha sección se realiza a lo largo de dos rectas, que se cortan la una a la otra en un punto de la linea de tierra. Este dibujo, en nuestro papel quedaría de la siguiente forma:

Imagen 1b: El plano en diédrico

La razón por la que se utilizan las trazas del plano en vez de sus proyecciones es bastante sencilla. Si nos imaginamos un plano en el espacio, que corte a los dos plano de proyección, al hacer la proyección ortogonal de dicho plano sobre los de proyección, nos daría todos los puntos de los planos de proyección. Esto es así, porque la dimensión del plano imaginado es exactamente igual a la de los planos de proyección. Cuando nosotros hacemos una proyección, siempre debemos de tomar un subespacio inicial que va a ser proyectado (un punto, una recta, un palno, etc...), y un subespacio de proyección, que es sobre el que se van a proyectar los subespacios anteriores (recta, plano, etc...). Dicho subespacio de proyección, debe de tener al menos una dimensión superior que el subespacio a proyectar. De hecho, esto lo podriamo razonar mediante nuestra imaginación, ya que si nos ponemos a pensar en como proyectar una recta en un plano, podemos llegar a la conclusión de que existe dicha proyección y que es otra recta contenida en el plano de proyección. Sin embargo, si tratamos de realizar el caso opuesto, la proyección de un plano en una recta, tenemos un gran inconveniente, y este es que tenemos muchos puntos del plano que se nos proyectan en uno solo de la recta, y eso no puede ser, ya que cada punto del espacio proyectado debe de tener un solo punto en su proyección, y este debe de ser único para él.

Bueno, hecha esta explicación un tanto engorrosa y que tampoco nos influye mucho en el tema que estamos tratando, vamos a empezar a mostraros unos cuantos planos que nos van a ser de mucha ayuda para los diversos ejercicios que realizaremos con planos.

Primeramente, y al igual que hicimos con los tipos de las rectas, vamos a empezar por casos muy sencillos de imaginar y luego entraremos en otros más complicados en los que la visión espacial es más importante. Por ello, vamos a comenzar por planos paralelos a los planos de proyección, los denominados planos frontales y planos horizontales. Los planos frontales (plano zeta en imagen 2), son aquellos que son paralelos al plano vertical de proyección, y por ello, solo van a cortar al plano horizontal, con lo cual solo poseerán traza horizontal. De la misma forma, los planos horizontales (plano fi en imagen 2), son aquellos que son paralelos al plano horizontal de proyección, y por ello solo poseen traza vertical. La realidad es que estos plano no son muy utilizados, pero en algunos casos, serán los únicos que serán capaces que facilitarnos la resolución del ejercicio.

Ahora imaginemos un plano horizontal cualquiera, y vamos a girarlo un cierto angulo respecto de una recta perpendicular la plano vertical, es decir, una recta de punta. Una vez hecho el giro, el plano resultante se denomina plano proyectante vertical (plano gama en imagen 2). Dicho plano, posee una de sus traza perpendiculares a la linea de tierra, la horizontal, mientras que la otra tiene un ángulo respecto de la linea de tierra igual al ángulo girado inicialmente. De la misma manera, si giramos un plano frontal respecto de una recta vertical, el plano resultante se denomina plano proyectante horizontal _(plano beta en imagen 2), con su traza vertical perpendicular a la linea de tierra y la horizontal formando un ángulo "alfa" respecto a la linea de tierra. Estos planos son muy utilizados para casi todo en diédrico por la sencillez de su formación, y a que en cada uno de ellos, la traza no perpendicular a la linea de tierra, será la linea que contenga la proyección de cualquier elemento contenido en el plano, debido a que este plano proyectante, es perpendicular a uno de los planos proyectantes. De hecho, y para que os hagáis un croquis de la situación, el plano proyectante horizontal, es perpendicular al plano horizontal y por ello todo elemento contenido en el plano, tendrá su proyección horizontal dentro de esta traza horizontal. Esta realidad se repite en el proyectante vertical, pero esta vez con la traza vertical. Este concepto es de vital importancia, y por ello lo veremos con más detenimiento en diversos casos donde necesitaremos utilizar esta propiedad.

Otro plano peculiar, dentro de los diferentes tipos que existe, lo compone el denominado plano de perfil (plano delta en imagen 2). Este plano es perpendicular a ambos planos de proyección, y por ello las trazas se ven en perpendicular a la linea de tierra y en prolongación una sobre otra, viéndose así las dos trazas como una sola recta continua continua. La realidad, es que este plano no es muy utilizado, ya que todo lo que este contenido en el se va a ver confundido en una sola linea. Sin embargo, este plano es bastante importante, ya que en algunos casos, donde no veamos claramente algunos elementos por verse estos de perfil, usaremos estos planos como auxiliares, para crear una tercera proyección y verlo tal y como son. Este tipo de problemas, a pesar de no ser muy comunes en la realidad, si que son muy buscados en exámenes de diédrico, y por ello, más adelante haremos algunos ejercicios donde se necesitará dicha tercera proyección, explicando como y porqué se utiliza.

Olvidándonos ya de los planos perpendiculares a los planos de proyección, existen otros planos muy interesantes, como lo son los planos paralelos a la linea de tierra (plano eta en imagen 2). Este tipo de planos, poseen las trazas paralelas entre si y a la linea de tierra. En algunos casos, para trabajar con este tipo de planos necesitaremos también la ya mencionada tercera proyección. En el caso que este plano paralelo a la linea de tierra, se trasladase de tal forma que contuviese a la linea de tierra, ambas trazas se confundirían en la propia linea de tierra, necesitándose además para definir completamente el plano, un punto por el que pasa el mismo (plano lambda en imagen 2). Este tipo de planos, al igual que los planos de perfil, son poco comunes y problemáticos, ya que no se trabaja bien con ellos, sin embargo, los planos bisectores de los cuadrantes son algo más importantes. Estos planos, son aquellos que contienen a la linea de tierra, y a todos los puntos que tienen misma cota y alejamiento (primer bisector), y cota y alejamiento con signo opuesto (segundo bisector). Más adelante haremos un ejercicio en el que tendremos que utilizar este tipo de planos, para ver lo complicado que resulta el trabajo con ellos.

Imagen 2: Tipos de plano

Por último, podríamos hablar de otros planos, que a pesar de ser generales (plano alfa en imagen 2), poseen alguna característica que los hace especiales. Dentro de estos planos, vamos a mencionar dos, los perpendiculares al primer y segundo bisector. Para explicarlos, vamos a fijarnos en la siguiente imagen:

Imagen 3: planos perpendiculares a los bisectores

En la imagen 3, a la izquierda, tenemos un croquis en tres dimensiones de lo que tenemos. Tenemos los planos de proyección, PV y PH, el plano bisector B, un plano auxiliar de perfil P, y el plano perpendicular al bisector Q. Como podemos ver, el plano Q y plano bisector, se van a cortar en una recta 'r', que al estar contenida en el primer bisector, si es que suponemos que el plano B es el primer bisector, tendrán sus puntos igual cota y alejamiento, por lo que sus proyecciones formarán con la linea de tierra el mismo angulo, como se ve en la figura 41 de la imagen 3. En esta figura 41, además, vemos la sección, en tercera proyección, es decir, de lado, de los planos bisector B, perpendicular a bisector Q, y 'r'. En esta tercera proyección, lo que hacemos es, por así decirlo, abatir el plano auxiliar de perfil P sobre el plano vertical. Como se ve en la imagen, las secciones entre el plano de perfil y los planos proyectantes, son perpendiculares entre sí, y por lo tanto, al abatirlo, la recta P-P' sería el plano vertical de proyección mientras que la linea de tierra sería el horizontal de proyección. En esa tercera vista o proyección, la recta B'' es la proyección del plano bisector sobre el plano de perfil, y por lo tanto la corte de esta vista B'' con el plano perpendicular, deberá de formar 90º, como se ve que forman B'' y Q'' en A''. Debido a esta realidad, los diversos puntos que forman parte de las trazas del plano, poseen la característica de que tienen la misma cota y alejamiento, por lo que llegamos a la conclusión de que las trazas de un plano perpendicular al primer plano de proyección, deben de formar respecto de la linea de tierra el mismo ángulo, como se ve en la figura 41.
Para llegar a la forma de las trazas de un plano perpendicular al segundo bisector, el razonamiento es análogo, pero teniendo muy en cuenta que lo que en la imagen 3 aparece como PH, es la parte negativa del plano horizontal de proyección, es decir, nos encontramos en el segundo cuadrante. Por ello, el alejamiento de los puntos de la traza horizontal Q, serían negativos, estando en la figura 41bis por encima de la linea de tierra. Por esta realidad, las trazas Q y Q' se superponen, y llevan el mismo ángulo respecto de la linea de tierra, quedando este tipo de planos representados de la forma que muestra la figura 41bis.

Estos dos últimos tipos de planos son de difícil comprensión, por lo cual se recomienda el pensar en profundidad en la explicación y en las imágenes, entendiendo con claridad, todos los conceptos que en ellos se exponen. Si conseguimos entender estos dos planos totalmente, no tiene porque haber ningún problema con este primer tema de aproximación al sistema diédrico.

A partir de aquí, vamos a realizar algunos ejercicios de definición de planos, rectas y puntos, para afianzar así el temario dado hasta ahora. Mucho ánimo.

EL SISTEMA DIÉDRICO

Bienvenidos al casi interminable mundo del sistema diédrico. En mi caso, llevo casi la friolera de 15 años estudiando y dando clase sobre este sistema de representación. En mi opinión es unos de los más interesantes desde el punto de vista técnico, ya que se ha de tener una visión espacial muy buena para entender y tener claro los conceptos que dentro de este sistema se estudian. 

Las bases del sistema diédrico son muy sencillas, pero sin embargo la representación del mismo es muy engorrosa y en algunos casos complicada y fea. Dicho sistema se basa en dos proyecciones ortogonales sobre dos planos, normalmente denominados el vertical y el horizontal de proyección. Dichos planos de proyección suelen tomarse perpendiculares entre si, aunque también es cierto que no es terminantemente obligatorio que dichos planos sean ortogonales uno al otro. En el caso que estos planos sean perpendiculares, las direcciones de proyección, al estar generadas por proyecciones ortogonales sobre dichos planos, también serán perpendiculares entre si. Los planos de proyección, al ser no paralelos entre si, se cortarán a lo largo de una recta, que tiene un nombre singular, la "linea de tierra", debido a que si tomamos el plano horizontal de proyección como el de referencia de alturas, es decir, como el suelo o tierra, dicha linea será la que nos indique las alturas que tendrán los objetos además de otra información de interés como los diferentes cuadrantes en los que nos quedará distribuido el espacio, que seguidamente estudiaremos de forma más extensa. 

 Para pasar de las tres dimensiones a las dos de nuestro folio, lo que se realiza en este sistema, es un abatimiento del plano vertical de proyección sobre el plano horizontal, de la forma que se indica en la siguiente imagen, quedando así las proyecciones en un solo plano que se podrá representar de forma más o menos complicada.

Imagen 1: Generación del sistema diédrico para su trabajo en 2D

 Como ya hemos dicho, la linea de tierra, es la recta de unión de los planos de proyección, y a partir de ahí vamos a empezar nuestras representaciones de los elementos más representativos dentro del dibujo técnico: el punto, la recta y el plano.

-El punto-

El punto, es el elemento básico del dibujo técnico, ya que es el elemento generador de todas las formas que se puedan llegar a dibujar. En el sistema diédrico, al estar este generado por dos proyecciones, dicho punto, tendrá dos proyecciones asociadas, una proyección horizontal y otra vertical, de forma que estas proyecciones nos darán las distancias de dicho punto respecto al plano horizontal y al vertical (cota y alejamiento respectivamente).

Imagen 2: Representación del punto en sistema diédrico

En la imagen superior, puede verse, que la distancia P1-P es la cota (altura) del punto P, y que coincide con la distancia que hay de P2 a la linea de tierra por ortogonalidad, mientras que por su lado, la distancia existente entre P2-P es el alejamiento de P, y que coincide con la distancia existente entre P1 y la linea de tierra por la misma razón.
A este respecto, cabe reseñar, que tanto la cota como el alejamiento, pueden ser tanto positivas como negativas. Para las cotas, se tomaran como positivas a partir de la linea de tierra en dirección ascendente, mientras que para los alejamientos se tomaran como positivos de la linea de tierra en dirección descendente. Definido así nuestro convenio de signos, podremos saber la posición de un punto, respecto al cuadrante en el que se encuentra, sabiendo únicamente la posición de sus proyecciones. Para interiorizar dicho concepto vamos a trabajar sobre la siguiente imagen:

Imagen 3: Posición relativa de puntos en diédrico

Si nos fijamos en la posición de los diversos puntos en tres dimensiones, luego nos fijamos en sus homólogos en el dibujo de la derecha, veremos que en el primer cuadrante, tanto la cota como el alejamiento son positivos siendo esto así por convenio. Si pasamos al segundo cuadrante, podremos ver que la cota (altura), sigue siendo positiva, mientras que el alejamiento ha pasado a ser negativo, ya que ha atravesado el plano vertical y esta "detrás" de él. Esta realidad se traduce en que si nos fijamos en la proyección B1 del punto B, observaremos que ahora no se encuentra por debajo de la linea de tierra, ya que el alejamiento ha tomado un valor negativo. Esto mismo sucede con el punto D, pero en vez de con el alejamiento lo que es negativo es la cota, ya que ha atravesado el plano horizontal. Por último, en el caso del punto C, vemos que sus proyecciones han permutado sus posiciones, y esto es así, porque tanto la cota como el alejamiento son negativos, ya que se han atravesado tanto el plano horizontal (PH) como el plano vertical (PV).

También existen dos casos especiales que son de mucho interés y estos son los siguientes:

• ¿Qué sucede si un punto no tiene cota o alejamiento?

En este caso, podríamos coger el punto A por ejemplo (se podría coger cualquiera de los demás) y trasladarlo paralelamente a uno de los planos coordenados (planos de proyección), hasta que la cota o el alejamiento se hagan nulos. Si lo hemos hecho bien, y eso esperamos todos, veremos que en el caso en el que tenemos cota, pero el alejamiento se nos anula, estaremos hablando de un punto que se encuentra dentro del plano vertical de proyección, mientras que para cotas nulas y alejamientos no nulos, estaremos dentro del plano horizontal de proyección. Por lo tanto, todo punto perteneciente al plano horizontal, no posee cota, no teniendo alejamiento aquellos que se encuentren en el plano vertical.

• ¿Qué pasa si un punto está en la propia linea de tierra?

Como ya se ha dicho, la linea de tierra, es el lugar geométrico de unión de los dos planos de proyección, y como tal, los puntos pertenecientes a ella, deben de cumplir las características que les impone el pertenecer a ambos. Por lo tanto, si el pertenecer al plano vertical nos obliga a que el punto no tenga alejamiento y el pertenecer al plano horizontal, lo mismo pero con la cota, dicho punto, tendrá sus dos proyecciones coincidentes en un punto de la linea de tierra. Esto, además nos hace ver otra característica muy especial del sistema diédrico, y es que todo elemento posee dos proyecciones, pero estas proyecciones pueden ser coincidentes, es decir, que se superpongan una con otra, como sucede en los puntos pertenecientes a los bisectores de los cuadrantes que veremos más adelante.

Imagen 4: Puntos singulares en el sistema diédrico

- La recta-

Si pensamos en lo que es gráficamente una recta, podremos darnos cuenta que esta no es más que un conjunto infinito de puntos alineados. Como tales, definen una dirección. Sin embargo, como hemos visto ya, en el sistema diédrico se duplica casi todo, y en el caso de la recta no va a haber una excepción. Efectivamente, la recta va a tener dos proyecciones, una sobre el plano horizontal que denominaremos por el índice 1, y otra sobre el plano vertical que denotaremos con el subíndice 2.
Por otro lado, si nos imaginamos una recta, cualquiera, en el espacio, en general, cortará a los planos de proyección en dos puntos. Muy bien, pues estos puntos son de una importancia crucial, ya que vamos a estar utilizándolos en casi todos los ejercicios que nos planteen, y poseen un nombre muy característico por ello, estos puntos se denominan trazas de la recta.

Imagen 5: La recta y sus trazas en diédrico

Como se puede ver en la imagen superior, la recta 'r', corta a los planos vertical y horizontal en sendos puntos 'V' y 'H'. Estos puntos son la trazas de la recta 'r', y cada una tiene sus proyecciones tanto vertical como horizontal, como se observa en la parte derecha de la imagen. Como se ve, en el sistema diédrico, en ninguna parte aparece el punto tal y como es, sino sus proyecciones, por lo que habrá que hacer un ejercicio de imaginación, para recrear la realidad en nuestra mente y hacernos una idea de cómo es en la realidad la recta.
Como es podréis imaginar, tipos de rectas, hay infinitas, pero hay una serie de ellas que se debieran de saber su forma y su nombre, por lo útiles que nos serán en los ejercicios que hagamos de aquí en adelante.

1. Comencemos por un par de rectas muy sencillas, una que sea perpendicular al plano horizontal, y otra que lo sea al vertical, rectas 'd' y 'e' respectivamente de la figura que se encuentra a continuación.      La primera, se denomina como era de esperar, recta vertical, mientras que la segunda se denomina recta de punta. La recta vertical, al ser ortogonal al plano horizontal, tendrá una proyección sobre dicho plano, tal que todos los puntos se confundirán en uno, mientras que en la proyección vertical, la recta aparece tal y como es en realidad, es decir, que dos puntos que estén alineados verticalmente a una cierta distancia, en la proyección vertical se verán de tal forma que dicha distancia se conserva. Lo mismo podríamos decir de la recta de punta, pero en este caso, las distancias se nos conservarán en el plano horizontal, siendo la proyección vertical un punto, de ahí la denominación de esta recta. Como solo hay un punto de corte con los planos de proyección en ambas rectar, cada una de ellas, solo poseerá una de las trazas, estando la otra en el infinito.
2. Otro tipo de recta también muy fácil de distinguir e imaginar, son las paralelas a la linea de tierra, correspondiente a la recta 'a' de la imagen inferior, las cuales, por dicha cualidad, tendrán ambas proyecciones también paralelas a la linea de tierra. Por este hecho, no poseerán trazas, y a pesar de ser muy intuitivas y fáciles de distinguir, a la hora de trabajar con ellas nos darán algunos problemas de visualización que ya trataremos más adelante. 
3. Pasemos ahora al que bajo mi punto de vista son las rectas más útiles de todas. Dichas rectas son las denominadas horizontales y frontales, rectas 'b' y 'c' de la figura inferior. Empecemos hablando de las rectas horizontales. Estas rectas, como todo lo que lleva apelativo horizontal, es paralelo al plano horizontal, por lo cual, la proyección vertical, será paralela a la linea de tierra, mientras que la otra podrá llevar la dirección que sea, salvo la que forma 90º con la linea de tierra, ya que es imposible ese caso. Si estáis pensando en poner la proyección horizontal paralela a la linea de tierra, os diré que además de tener una recta horizontal, dicha recta también es paralela a la linea de tierra. Como era de esperar, por contraposición, las rectas frontales son las que poseen la proyección horizontal paralela a la linea de tierra, y se denominan frontales por estar frente al plano vertical. La proyección vertical de la recta frontal, podrá llevar la dirección que queramos, salvo perpendicular a la linea de tierra por la razón anteriormente dada. Este tipo de rectas solo poseen también una de las trazas.
4. Fijémonos ahora en rectas que corten con la linea de tierra. Este tipo de rectas se pueden dividir en dos, las que además son perpendiculares a la linea de tierra, y las que forman un ángulo inferior a agudo con la misma, rectas 'g' y 'h' de la imagen que esta a continuación. En el caso que formen un ángulo agudo, las trazas, se cortarán en la propia linea de tierra, y cada una llevará la dirección que le toque, no teniendo restricción siempre que sea compatibles las trazas una con otra. Por su lado, las rectas que además de cortar a la linea de tierra son perpendiculares a esta, tienen la cualidad que ambas proyecciones se confunden en una que es perpendicular a la linea de tierra. Esta cualidad es común para cualquier recta que corte perpendicularmente a la linea de tierra en un punto, por lo cual nos obliga a dar más información sobre la misma para distinguirla del resto. Esto se consigue dando más información sobre la misma, y esta información es un punto por el que pase. Si nos fijamos en la recta 'h' de la figura inferior, vemos que además de las proyecciones, nos dan un punto 'M' por el que pasa la recta, variando la recta, si ese punto 'M' varía su posición. En estas rectas, las trazas se confunden una con otra en la propia linea de tierra.
5. Si la recta es perpendicular a la linea de tierra pero no la corta, el caso es igual, pero las trazas no se confundirán, estarán bien diferenciadas. (véase recta 'i' a continuación)
6. Si las rectas no cumplen ninguna de las peculiaridades  que se han expuesto anteriormente, estaremos ante una recta genérica, como lo es la recta 'f' de la figura inferior. Estas rectas tienen sus trazas bien diferenciadas, aunque no siempre nos entrarán en el papel de trabajo.

Imagen 6 y 7: Tipos de rectas en diédrico

Por último, como ya se ha dicho, las rectas en general, pasan por varios cuadrantes en su trayectoria. Por ello, debemos de saber en cada tramo del mismo en que parte del espacio nos encontramos. Para el análisis de este tipo de ejercicios vamos a trabajar el siguiente ejercicio:

Imagen 8: Posición de las rectas en el espacio

En este caso, el ejercicio ya esta resuelto, pero vamos a contrastar los resultados. Como ya se ha dicho anteriormente, las trazas, son puntos especiales de las rectas, en los cuales estas cortan a los planos de proyección, y por ello, pasan de un cuadrante a otro. Por ello, cuando en una recta nos encontremos con una traza, nuestra mente tiene que pensar en un cambio de cuadrante. Como vemos, en el ejercicio, en las trazas de la recta, el autor ha dividido el espacio, dándole así tres tramos de la recta en los que esta esta en diferentes cuadrantes. En el de más a la izquierda, estamos en un tramo en el que los alejamientos son positivos ('a1' esta por la parte inferior de la linea de tierra), mientras que las cotas son negativas (por estar 'a2' por debajo de la linea de tierra). Estos puntos que poseían cota negativa y alejamiento positivo, como ya hemos visto en el tema de los puntos en diédrico, eran los que estaban en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, en ese tramo, la recta se encuentra en el cuarto cuadrante. Si nos fijamos en la parte derecha de la imagen, estamos con cotas positivas ('a2' por encima de la LT) y alejamientos negativos ('a1' por encima de la LT). Esto correspondía a puntos pertenecientes al segundo cuadrante, como bien viene escrito en la solución. Entre medias, tanto la cota como el alejamiento son positivos, lo cual correspondía por convenio al primer cuadrante, quedando así el ejercicio completamente resuelto.

Introducción

Geometría proyectiva

Introducción

Desde que el hombre de las cavernas empezará en la prehistoria a hacer dibujos en las paredes de roca con sangre de los animales que había cazado, tratando así de hacer una representación lo más fiel posible a la realidad, el hombre, ha tratado de representar los objetos, las personas, o los pensamientos que tiene a su alrededor y dentro de si mismo, a través de diversas herramientas artísticas que han ido evolucionando y perfeccionándose con el tiempo. Una de estas herramientas para dicha representación de la realidad, es la proyección de la misma bajo unas características particulares. A este respecto, el ser humano ha desarrollado multitud de sistemas gráficos, que lo que tratan es de hacer esta representación de la realidad. En la mayoría de los casos se trata de objetos, herramientas o utensilios que tienen unas características geométricas únicas, las cuales deben de quedar bien representadas en el papel para que el mensaje este bien transmitido.
Dichos sistemas gráficos, o sistemas proyectivos, se utilizan mundialmente, y son un sistema muy efectivo de transmisión de información en algunos oficios como en la construcción. Dentro de estos sistemas, nos encontramos con algunos que son más comunes que otros, y por ello, en nuestro caso vamos a trabajar los más comunes, destacando sus características más principales, y haciendo hincapié en las ventajas e inconvenientes que poseen cada uno de ellos.
En este blog se van a tratar los siguientes sistemas en forma ordenada:

1. El sistema diédrico
2. La perspectiva axonométrica
3. La perspectiva caballera
4. El sistema de acotados
5. La perspectiva cónica

Todos y cada uno de estos sistemas y perspectivas, poseen características particulares que los diferencian del resto, y son por ello más utilizados en algunos trabajos que en otros. Sin embargo, todos y cada uno de estos sistemas, tienen también algunas características comunes que se han de tener en cuenta a la hora de definir nuestro sistema proyectivo. Estas características son:

• Todo sistema de proyección posee unas dimensiones de partida (normalmente 3 en la realidad) y otras en su proyección (en nuestro caso 2, ya que vamos a proyectar sobre un plano)
• Todo sistema, posee al menos una dirección de proyección, pudiendo ser estas direcciones paralelas unas a otras, perpendiculares, oblicuas o incluso focales. Dichas direcciones de proyección, como ya veremos en cada caso, son las "trayectorias" que siguen los puntos de la realidad para transformase en sus proyectados.
• Todo sistema, posee al menos un plano de proyección, que  puede ser ortogonal o no. Dicho plano o planos de proyección, son los planos que poseerán a los puntos proyectados sobre ellos.
• En algunos casos también hablaremos de "punto de vista", lo cual se refiere al agente que esta observando la figura, es decir, desde donde se mira la pieza. Como se verá, en algunos sistemas este punto de vista esta muy bien definido, siendo una característica intrínseca a él, mientras que en algunos casos solo podremos hablar de lugares aproximados donde se encuentre el vidente.
• Por último, también podríamos hablar, aunque en el estricto concepto no es muy correcto, de sistema de referencia. El sistema de referencia nos sirve para ubicar nuestra figura en el espacio, y es una característica completamente externa al cuerpo, es decir, que el creador del sistema decide donde poner este sistema de referencia y debido a este, las proyecciones del mismo van a ser unas u otras. Sin embargo, si que es cierto que este sistema de referencia si que es importante para algunas proyecciones como la cónica, y que en otras es un mero trámite que nos facilitará el trabajo con la figura.

Estas características, darán a algunos sistemas una complejidad mayor que otras, pero sin embargo, también se conseguirá así una mayor exactitud en la proyección y en el resultado de la misma. Sin más dilación vamos a empezar con el primer sistema de representación, el sistema diédrico, que es uno de los más utilizados y estudiados tanto en la escuela como en la universidad debido a la enorme aplicación del mismo a la vida real.